Física 3ro. Básico : Movimiento Parabólico

El movimiento parabólico, también conocido como tiro oblicuo, consiste en lanzar un cuerpo con una velocidad que forma un ángulo α con la horizontal. En la siguiente figura puedes ver una representación de la situación.

El movimiento parabólicoo tiro oblicuo resulta de la composición de un movimiento rectilíneo uniforme (mru horizontal) y un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado de lanzamiento hacia arriba o hacia abajo (mrua vertical).

Ecuaciones

Las ecuaciones del movimiento parabólico son:

Las ecuaciones del m.r.u. para el eje x

$x = x 0 + v x \cdot t$
Las ecuaciones del m.r.u.a. para el eje y

$v y = v 0 y + a y \cdot t$

$y = y 0 + v 0 y \cdot t + 1 2 \cdot a y \cdot t 2$

Dado que, como dijimos anteriormente, la velocidad forma un ángulo α con la horizontal, las componentes x e y se determinan recurriendo a las relaciones trigonométricas más habituales:

Finalmente, teniendo en cuenta lo anterior, que y0 = H , x0 = 0, y que ay = -g , podemos reescribir las fórmulas tal y como quedan recogidas en la siguiente lista. Estas son las expresiones finales para el cálculo de las magnitudes cinemáticas en el movimiento parabólico o tiro oblicuo:

Posición (m)
- Eje horizontal
  
  $x = v x \cdot t = v 0 \cdot cos (α) \cdot t$
- Eje vertical
  
  $y = H + v 0 y \cdot t - 1 2 \cdot g \cdot t 2 = H + v 0 \cdot sin (α) \cdot t - 1 2 \cdot g \cdot t 2$
Velocidad (m/s)
- Eje horizontal
  
  $v x = v 0 x = v 0 \cdot cos (α)$
- Eje vertical
  
  $v y = v 0 y - g \cdot t = v 0 \cdot sin (α) - g \cdot t$
Aceleración (m/s2)
- Eje horizontal
  
  $a x = 0$
- Eje vertical
  
  $a y = - g$

Experimenta y Aprende

-10

-20

t (s) = 0.00

v0 (m/s) = 9.00

α (rad) = 1.24

v0x

v0y

Datos
g = 9.8 m/s2 | H = 30.00 m | α = 1.24 rad

v0 = 9.00 m/s
v0x = v0 · cos(α) = 9.00 · cos(1.24) = 2.92 m/s
v0y = v0 · sin(α) = 9.00 · sin(1.24) = 8.51 m/s

x = vx · t = 2.92 · 0.00 = 0.00 m
y = H + v0y·t - 1/2 · g · t2 = 30.00 + 8.51 . 0.00 - 1/2 · 9.8 · 0.002 = 30.00 m

vx = v0x = 2.92 m/s
vy = v0y - g · t = 8.51-9.8 · 0.00 = 8.51 m/s

Movimiento parabólico

La bola azul de la figura representa un cuerpo suspendido sobre el suelo. Puedes arrastrarlo hasta la altura inicial H que desees y seleccionar la velocidad inicial (v0) con la que se lanzará formando un ángulo (α) con la horizontal. La línea gris representa la trayectoria que describirá con los valores que le has proporcionado.

A continuación pulsa el botón Play. Desliza el tiempo y observar como se calcula su posición (x e y) y su velocidad (vx e vy) en cada instante de su descenso hacia el suelo.

Comprueba como la proyección del cuerpo en el eje y (verde) describe un movimiento de lanzamiento vertical y en el eje x (rojo) describe un movimiento rectilíneo uniforme.

Ecuación de posición y de trayectoria en el movimiento parabólico

La ecuación de posición de un cuerpo nos sirve para saber en qué punto se encuentra en cada instante de tiempo. En el caso de un cuerpo que se desplaza en dos dimensiones, recuerda que, de forma genérica, viene descrita por:

r \to (t) = x (t) i \to + y (t) j \to

Sustituyendo la expresiones anteriores de la posición en el eje horizontal ( m.r.u. ) y en el eje vertical ( m.r.u.a. ) en la ecuación de posición genérica, podemos llegar a la expresión de la ecuación de posición para el movimiento parabólico.

La ecuación de posición del movimiento parabólico viene dada por:

r \to = (x 0 + v 0 x \cdot t) \cdot i \to + (H + v 0 y \cdot t - 1 2 \cdot g \cdot t 2) \cdot j \to

Por otro lado, para saber qué trayectoria sigue el cuerpo, es decir, su ecuación de trayectoria, podemos combinar las ecuaciones anteriores para eliminar t, quedando:

y = H + v 0 y \cdot (x v 0 x) - 1 2 \cdot g \cdot (x v 0 x) 2 = H + k 1 \cdot x - k 2 \cdot x 2 k 1 = v 0 y v x; k 2 = 1 2 \cdot v 0 x 2 \cdot g

Como cabía esperar, se trata de la ecuación de una parábola.

Por otro lado, será frecuente que en los ejercicios te pidan alguno de los siguientes valores.

Altura máxima

Este valor se alcanza cuando la velocidad en el eje y, vy , vale 0. A partir de la ecuación de velocidad en el eje vertical, e imponiendo vy = 0, obtenemos el tiempo t que tarda el cuerpo en llegar a dicha altura. A partir de ese tiempo, y de las ecuaciones de posición, se puede calcular la distancia al origen en el eje x y en el eje y.

Tiempo de vuelo

Se calcula igualando a 0 la componente vertical de la posición. Es decir, el tiempo de vuelo es aquel para el cual la altura es 0 (se llega al suelo).

Alcance

Se trata de la distancia máxima en horizontal desde el punto de inicio del movimiento al punto en el que el cuerpo impacta el suelo. Una vez obtenido el tiempo de vuelo, simplemente sustituye en la ecuación de la componente horizontal de la posición.

Ángulo de la trayectoria

El ángulo de la trayectoria en un determinado punto coincide con el ángulo que el vector velocidad forma con la horizontal en ese punto. Para su cálculo obtenemos las componentes vx y vy y gracias a la definición trigonométrica de tangente de un ángulo, calculamos α:

tan (α) = c a t e t o o p u e s t o c a t e t o c o n t i g u o = v y v x \Rightarrow α = tan - 1 (v y v x)

Ejemplo

Minuto 90 de juego... Lopera se acerca al balón para lanzar un libre directo a 40 metros exactos de la portería, da dos pasos hacia atrássss y lanzaaaa. El balón describe una trayectoria parabólica y sale con una elevación de 20º... y ¡¡¡¡¡GOOOOLLL!!!! ¡¡¡¡GOOOOOOOLLL!!!! ¡¡¡¡El balón entra por la escuadra a 1.70 metros de altura!!!. Tras oir esta emisión en la radio, ¿sabrías responder a las siguientes preguntas?

a) Desde que Lopera chuta y marca el gol, ¿cuánto tiempo ha transcurrido y a qué velocidad salió el balón desde las botas de Lopera?
b) ¿Qué altura máxima alcanzó el balón?
c) ¿Con qué velocidad llegó el balón a la portería?

Solución

Cuestión a)

El instante en el que el balón llega a la portería x=40 m e y=1.7 m. Sustituyendo en las ecuaciones de la posición del movimiento parabólico:

x = v 0 \cdot cos (α) \cdot t y = v 0 \cdot sin (α) \cdot t - 1 2 \cdot g \cdot t 2} \Rightarrow 40 = v 0 \cdot cos (20) \cdot t 1.7 = v 0 \cdot sin (20) \cdot t - 1 2 \cdot 9.8 \cdot t 2} \Rightarrow 40 = v 0 \cdot 0.94 \cdot t 1.7 = v 0 \cdot 0.34 \cdot t - 4.9 \cdot t 2} \Rightarrow t = 1.61 s v 0 = 26.36 m s /}

Cuestión b)

Cuando la componente y de la velocidad (vy) sea 0 entonces quiere decir que estaremos en el punto más alto de la parábola. Recuerda que comienza a ascender y su velocidad en el eje y va disminuyendo hasta que se anula y comienza a ser negativa para descender.

v y = v 0 y - g \cdot t \Rightarrow v y = v 0 \cdot sin (α) - g \cdot t \Rightarrow 0 = 26.36 m s / \cdot sin (20 º) - 9.8 m s 2 / \cdot t \Rightarrow t = 9 . 05 m s / 9 . 8 m s 2 / \Rightarrow t = 0.92 s

Ahora ya estamos en condiciones, aplicando la ecuación de posición en el eje y, y sustituyendo por el instante que hemos obtenido, de determinar la altura máxima alcanzada:

y = H + v 0 y \cdot t - 1 2 g \cdot t 2 \Rightarrow y = 0 + 26.36 \cdot sin (20) \cdot (0.92) - 1 2 \cdot 9.8 \cdot (0.92) 2 \Rightarrow \Rightarrow y = 4.14 m

Cuestión c)

Sabiendo que el balón llegó a la portería en 1.61 s, su velocidad se obtiene:

v x = 26.36 \cdot cos (20) = 24.77 m s / v y = 26.36 \cdot sin (20) - 9.8 \cdot 1.61 = - 6.76 m s / v = v x 2 + v y 2 - - - - - - - - \sqrt = (24.77) 2 + (- 6.76) 2 - - - - - - - - - - - - - - - - \sqrt = 25.67 m s /

Fórmulas

v y = v 0 y - g \cdot t = v 0 \cdot sin (α) - g \cdot t

x = v x \cdot t = v 0 \cdot cos (α) \cdot t

a x = 0

y = H + v 0 y \cdot t - 1 2 \cdot g \cdot t 2 = H + v 0 \cdot sin (α) \cdot t - 1 2 \cdot g \cdot t 2

a y = - g

v x = v 0 x = v 0 \cdot cos (α)

Actividad: Realizar formulario de los temas visto, tomar nota en el cuaderno de los ejemplos de los videos, tomarle foto y enviármela.

Física 3ro. Básico

martes, 7 de abril de 2020

Movimiento Parabólico